Xətti cəbri tənliklər sistemi. xətti cəbri tənliklər homogen sistemi

Məktəbdə, hər birimiz, əlbəttə, tənliklər sistemi tənlik tədqiq və. Lakin bir çox insanlar onlara həll etmək üçün bir neçə yol var ki, bilirik. Bu gün biz daha iki tənliklər ibarətdir xətti cəbri tənliklər, sistemi həlli üçün dəqiq bütün üsulları görəcəksiniz.

hekayə

Bu gün biz tənliklər və onların sistemlərinin həll sənəti qədim Babil və Misir çıxdı ki, bilirik. Lakin, onların tanış şəklində bərabərlik English riyaziyyatçı rekord 1556-ci ildə təqdim edilib bərabər işarəsi "=" ortaya çıxdıqdan sonra bizə çıxdı. Yeri gəlmişkən, bu simvolu səbəbdən seçilib: iki paralel bərabər seqmentləri deməkdir. Həqiqətən, bərabərlik ən yaxşı nümunə gəlmək deyil.

müasir yazısı təsisçisi və naməlum dərəcədə rəmzləri, Fransız riyaziyyatçı Fransua Viet. Lakin, onun təyin gün əhəmiyyətli dərəcədə fərqlənir. Məsələn, naməlum sayı kvadrat o Q hərfi (. lat "Quadratus") və kub tərəfindən təyin - (. Lat "Cubus") məktub C. Bu simvollar indi narahat görünə bilər, lakin o, xətti cəbri tənliklər sistemi yazmaq üçün ən asan yol idi.

Lakin, həll üstünlük təşkil edən üsulları bir dezavantaj riyaziyyatçı müsbət kökləri yalnız hesab idi. Yəqin ki, bu mənfi dəyərləri hər hansı bir tətbiq yoxdur ki, bağlıdır. Bir yolu və ya digər, lakin ilk mənfi kökləri 16-cı əsrdə İtalyan riyaziyyat Niccolo Tartaglia, Gerolamo Cardano və Raphael Bombelli sonra başladı hesab. Müasir görünüş həlli əsas metodu kvadratik tənlikləri (discriminant vasitəsilə) Dekart və Newton işləri ilə yalnız 17-ci əsrdə yaradılıb.

18-ci əsrin İsveçrə riyaziyyatçı ortasında Gabriel Cramer asan xətti tənliklər sisteminin həlli üçün yeni bir yol tapdı. Bu üsul sonra onun adına və bu gün biz istifadə edin. Amma bir az sonra Kramer nin müzakirəsi metodu, lakin indi biz sistemindən ayrı xətti tənliklər və onların həlli müzakirə olunacaq.

xətti tənliklər

Xətti tənliklər - dəyişən (s) ilə sadə tənlik. Onlar cəbri məxsusdur. Xətti tənliklər ₁ * x ₁ + _{2 *} x ₂ + ... və _n * x _n = b aşağıdakılardır: ümumi formada yazılmış. Bu formada təqdim biz sistemlərinin hazırlanmasında lazım olan və matrisinin edəcək.

xətti cəbri tənliklər sistemi

bu müddət müəyyən edir: ümumi bilinməyənlər və ümumi həll tənliklər bir sıra. Tipik olaraq, məktəbdə bütün iki və ya hətta üç tənliklər sistemi həll. Amma dörd və ya daha komponentləri ilə sistemləri var. belə ki, sonra həll etmək rahat idi onları yazmaq üçün necə ilk edək. belə 1,2,3 və bütün dəyişənlər müvafiq göstəricisi ilə x kimi yazılı əgər Birincisi, xətti cəbri tənliklər sistemi daha yaxşı görünür. İkincisi, canonical forma bütün tənliklər səbəb lazımdır: ₁ * x ₁ + _{2 *} x ₂ + ... və _n * x _n = b.

Bütün bu addımlar sonra, biz necə xətti tənliklər sisteminin həlli tapmaq üçün sizə başlaya bilərsiniz. ki, çox lazımlı matrix olacaq.

matris

Matrix - satır və sütun ibarət olan masa və onun elementləri onların kəsişməsində var. Bu xüsusi dəyəri və ya dəyişən ola bilər. Əksər hallarda, subscripts (məsələn, ₁₁ və ya ₂₃ də) altında təşkil edilir elementləri təyin. sütun - ilk index sıra sayı, və ikinci göstərir. yuxarıda və hər hansı digər riyazi elementi kimi Above matrisleri müxtəlif əməliyyatlar edə bilərsiniz. Belə ki, siz:

1) çıxar və masa eyni ölçüsü əlavə edin.

2) hər hansı bir sayı və ya vektor matrix çarpın.

3) çekmiş: sütun matrix xətləri çevirmək, və sütun - xətti.

satır sayı onlardan biri sütun müxtəlif sayı bərabər olduqda 4), matrix çarpın.

onlar gələcəkdə bizə faydalı kimi, ətraflı bu texnikanın bütün müzakirə etmək. Subtraction və matrisleri əlavə çox sadədir. biz eyni ölçüdə matrix almaq ildən, bir masa hər element hər element ilə bağlıdır. Beləliklə, biz (çıxmaq) bu elementlərin iki (bu onların matrisleri eyni yerdə dayanan vacibdir) əlavə edin. matrix və ya vektor sayına vurulur zaman sadəcə sayı (və ya vektor) tərəfindən matrix hər element çoxaltmaq. Transpozisiyası - çox maraqlı prosesdir. bir tablet və ya telefon oriyentasiya dəyişən zaman, məsələn, real həyatda onu görmək bəzən çox maraqlı. masa üstü nişanlar bir matrix və mövqeyi bir dəyişiklik ilə, transposed və geniş olur, lakin hündürlüyü azalır.

Bizə belə bir proses nəzərdən keçirək matrix vurma. Baxmayaraq ki, o izah etdi və faydalı deyil, lakin o, hələ də faydalı unutmayın. Multiply iki matrisleri bir masa sütun sayı digər satır sayı bərabər ki, yalnız şəraitində ola bilər. İndi bir matrix line elementləri və müvafiq sütun digər elementləri almaq. hər sonra digər və məbləği onları çoxaltmaq (a * b _{11 12} + * ₁₂ b və ₂₂ yəni, məsələn, elementlər ₁₁ və ₁₂ və ₁₂ b və ₂₂ b məhsulu bərabər _olacaq). Belə ki, bir masa maddə və ona bənzər bir üsul daha doldurulur.

İndi xətti tənliklər sistemi həll etmək üçün necə hesab başlaya bilərsiniz.

Gauss

Bu mövzu məktəbdə yer almağa başladı. Biz çox yaxşı "iki xətti tənliklər sistemi" anlayışı bilirik və onları həll etmək üçün necə. Amma tənliklər sayı iki daha çox nə olur? Bu bizə kömək edəcək Gauss üsulu.

Əlbəttə ki, bu üsul sisteminin bir matrix etmək əgər istifadə etmək rahatdır. Amma çevirmək və öz qərar qəbul edə bilməz.

Belə ki, necə xətti tənliklər Gauss sistemi ilə həll etmək olar? Yeri gəlmişkən, hətta bu üsul olsa və onun adına, lakin qədim zamanlarda aşkar. Gauss nəhayət eşelon forma ümumilikdə səbəb, tənliklər ilə həyata keçirilən əməliyyat var. Bu, naməlum bir waned son tənlik ilk top-down (doğru yerləşdirmək əgər varsa) üçün lazımdır. İkinci üç bilinməyənlər - - üçüncü iki - bir ilk: Başqa sözlə, biz üç tənliklər, biz var ki, əmin etmək lazımdır deyirlər. Sonra son tənlik, biz ilk naməlum tapmaq, ikinci və ya birinci tənlik onun dəyəri əvəz və daha qalan iki dəyişənlərin tapa bilərsiniz.

Cramer nin qaydası

Bu texnikanın inkişafı üçün matrisleri toplama işlemi, eləcə də amilləri tapmaq etmək üçün lazım əlavə bacarıqları master üçün çox vacibdir. Bu bütün bunu narahat və ya necə bilmirəm Buna görə, onu öyrənmək və təlim lazımdır.

Bu metodun mahiyyəti nədir və bunu necə, xətti tənliklər Cramer sistemi almaq üçün necə? Bu, çox sadə. Biz (demək olar ki, həmişə) xətti cəbri tənliklər sisteminin əmsalları nömrələri matrix qurmaq lazımdır. Bunu etmək üçün, sadəcə naməlum sayı, və biz onlar sistemə qeyd olunur ki, bir masa təşkil edir. sayı əlamətidir əvvəl "Əgər -" sonra biz mənfi əmsalı yazın. Belə ki, biz (- əmsallı bütün bilinməyənlər sağ yalnız bir sıra və sol zaman tənlik canonical forma azaldılır var ki, əlbəttə) bərabər işarəsi sonra sıra o cümlədən, bilinməyənlər əmsalları ilk matrix etdi. Sonra bir neçə matrisleri etmək lazımdır - hər bir dəyişən üçün. Bu məqsədlə ilk matrix bərabər işarəsi sonra bir sütun əmsallı hər sütun nömrələri əvəz olunur. Beləliklə, biz bir neçə matrisleri almaq və sonra onların amilləri tapmaq.

biz seçmələrində aşkar sonra, kiçik. Biz ilkin matrix var və müxtəlif dəyişənlərin uyğun bir neçə əldə matrisleri var. bir sistem həll almaq üçün, biz masa əsas determinant haqqında çıxan masa determinant bölün. nəticəsində bir nömrəli dəyişən dəyəri. Eynilə, biz bütün bilinməyənlər tapa bilərsiniz.

digər üsulları

xətti tənliklər sisteminin həlli əldə etmək üçün bir neçə üsulları var. Məsələn, həmçinin kvadrat tənliklər sisteminin həlləri tapmaq üçün istifadə olunur ki, bir qondarma Gauss-İordaniya üsulu matrisleri istifadə ilə bağlıdır. xətti cəbri tənliklər sistemi həlli üçün Jacobi üsul da var. O, asanlıqla bütün kompüter uyğunlaşır və hesablama istifadə olunur.

mürəkkəb hallarda

tənliklər sayı dəyişənlərin sayı az olduqda Mürəkkəblik adətən baş verir. Sonra əlbəttə demək olar ki, və ya sistem (yəni, heç bir kökləri var) olmayan və ya onun qərarlarının sayı sonsuzluğa üçün çalışır. İkinci halda varsa - bu xətti tənliklər sisteminin ümumi həll yazmaq lazımdır. Bu, ən azı bir dəyişən daxildir.

nəticə

Burada sonuna gəldik. ümumiləşdirmək üçün: biz sistem matrix, xətti tənliklər sisteminin ümumi həllini tapmaq üçün öyrəndiklərini anlamaq lazımdır. Bundan əlavə, biz digər variantları nəzərdən. Gauss aradan qaldırılması və Biz xətti tənliklər sistemi həll etmək üçün necə fiqurlu Cramer hakimiyyəti. Biz çətin hallarda və həllər tapmaq digər yolları barədə danışıb.

Əslində, bu məsələ daha geniş və daha yaxşı anlamaq istəyirsinizsə, sizə ixtisaslaşdırılmış ədəbiyyat daha ətraflı məsləhət görürük.