Maclaurin və bəzi funksiyaları parçalanma

qabaqcıl riyaziyyat öyrənilməsi bizə bir sıra yaxınlaşma intervalında bir güc sıra məbləği dəfə davamlı və limitsiz sayı fərqli funksiyası ki, xəbərdar olmalıdır. Sual yaranır: ki, verilmiş ixtiyari funksiyası f mübahisə üçün mümkündür (x) - elektrik sıra cəmidir? Bu f aidatına f (x) bir güc sıra ilə təmsil oluna bilər nə şərtlər altında, var? Bu məsələnin əhəmiyyəti təxminən £ Ruhanilər f (x) bir güc sıra ilk bir neçə şərtlər məbləği əvəz etmək mümkündür ki, bir çoxhədli edir. çoxhədli - - Belə bir əvəz funksiyası olduqca sadə ifadəsidir rahat və müəyyən problemlərin həllində deyil , riyazi təhlili məhz hesablanması zamanı inteqrallar həllində diferensial tənliklər və s ...

Bu sübut edir ki, yaxınlığında son, o cümlədən (n + 1) -ci sifariş törəmələri hesablanır bilər orada bəzi f-ii f (x), (α üçün - R; x ₀ + R) bir point x = alfa ədalətli düstur:

Bu formula məşhur alim Brooke Taylor adını daşıyır. əvvəlki irəli gəlir bir sıra, bir Maclaurin sıra adlanır:

mümkün edir A qayda Maclaurin sıra genişləndirilməsi istehsal:

1. birinci, ikinci, üçüncü ... sifariş törəmələri müəyyən edir.
2. x = 0 törəmələri nə hesablayın.
3. Record Maclaurin seriyası bu funksiya üçün, və sonra yaxınlaşma interval müəyyən etmək.
4. (; R R) formula maclaurin qalıq hissəsi interval müəyyən

R _n (x) -> 0 n üçün -> daimi. bir varsa, bu funksiyası f (x) Maclaurin seriyası cəminə bərabər olmalıdır.

indi fərdi funksiyaları üçün Maclaurin sıra düşünün.

1. Belə ki, ilk f olunacaq (x) = e ^x. Əlbəttə ki, onların xüsusiyyətləri-Ia f k bütün bərabər bir sifarişlərin müxtəlif və f ^{(k) (x)} = e ^x, əldə belə təbii ədəd. Ehtiyat x = 0. Biz Yuxarıda, e ^x bir sıra əsasında ... f ^{(k) (0)} = e ⁰ = 1, k = 1,2 almaq Bu aşağıdakı kimi olacaq:

funksiyası f (x) = sin x 2. Maclaurin seriyası. Dərhal, f başqa ^(x) = cos x = günah (x + n / 2), ^{f '' (x)} = Sin x = günah (x olacaq naməlum törəmələri üçün f aidatına daxil + 2 * n / ²⁾ ... f ^{(k) (x)} = sin (x + n * k müsbət tam bərabərdir k / 2). Bu sadə hesablamalar edilməsi, biz f seriyası (x) = sin x belə olacaq ki, bağlaya bilər:

3. İndi Iju f-f (x) = cos x nəzərdən keçirək. Bu ixtiyari qaydada bütün törəmələri üçün məlum deyil, və ^{| f (k) (x)} | = | Cos (x + k * n / 2) | <= 1, k = 1,2 ... Yenə də, bu, biz f seriyası (x) bu kimi görünür cos x = ki, tapa bəzi hesablamalar edərək:

Belə ki, biz bir Maclaurin sıra genişləndirilə bilər ən mühüm xüsusiyyətləri verilmişdir, lakin bəzi funksiyaları üçün Taylor seriyası tamamlayır. İndi biz həmçinin onlara siyahısını verir. O, həmçinin Taylor seriyası və Maclaurin sıra ali riyaziyyat qərarların seminar sıra mühüm hissəsi olduğunu qeyd etmək lazımdır. Belə ki, Taylor seriyası.

1. Ilk f-ii f (x) = ln (1 + x) bir sıra. Maclaurin sıra ümumi formada istifadə edərək, bir sıra qatlanmış bilər bu f (x) = ln (+ x 1) əvvəlki nümunələri kimi. lakin bu xüsusiyyət üçün Maclaurin daha asan əldə edə bilərsiniz. həndəsi silsilə inteqrasiyası, biz f (x) üçün bir sıra almaq = ln (1 + x) nümunə:

2. Bu məqalədə final olacaq, ikinci, f (x) = arctg x bir sıra olacaq. interval aid x [-1; 1] etibarlı parçalanma var:

Vəssalam. Bu yazıda mən xüsusilə iqtisadi və texniki kolleclərdə, ali riyaziyyat ən çox istifadə Taylor seriyası və Maclaurin sıra sorğu var.