Müntəzəm poliqon. Müntəzəm çoxbucaqlı tərəflərin sayı

Üçbucaq, kvadrat, altıbucaqlı - bu rəqəmlər demək olar ki, hər kəs üçün məlumdur. Ancaq hər kəs müntəzəm poliqonun nə olduğunu bilmir. Ancaq bunlar eyni həndəsi rəqəmlərdir. Müntəzəm poliqon bərabər açılar və tərəflərə malikdir. Bu cür rəqəmlər çoxdur, lakin onların hamısı eyni xüsusiyyətlərə malikdir və eyni formulalar onlara aiddir.

Müntəzəm poliqonların xüsusiyyətləri

Hər bir müntəzəm poliqon, bir kvadrat olsun, ya da bir sekizgen olsun, bir dairədə yazıla bilər. Bu əsas xüsusiyyət bir forma qurarkən tez-tez istifadə olunur. Bundan əlavə, dairə də poliqonda yazıla bilər. Bu halda əlaqə nöqtələrinin sayı tərəflərin sayına bərabər olacaqdır. Müntəzəm poliqonda yazılmış bir dairənin onunla ortaq mərkəzə sahib olması vacibdir. Bu həndəsi rəqəmlər bir teoremə tabedir. Normal n-gonun hər hansı tərəfi onun ətrafındakı ətraf mühitin R radiusuna bağlıdır, beləliklə, aşağıdakı formula ilə hesablana bilər: a = 2R ∙ sin180 °. Dairənin radiusuna görə, tək tərəfləri deyil, poliqonun ətrafını da tapa bilərsiniz.

Müntəzəm çoxbucaqlı tərəflərin sayını necə tapmaq olar

Hər hansı bir müntəzəm n-gon birlikdə qapalı bir xətt təşkil edən bir sıra bərabər seqmentlərdən ibarətdir. Bu halda, formalaşmış rəqəmin bütün açıları eyni dəyərə malikdir. Poliqonlar sadə və mürəkkəbdir. Birinci qrup bir üçbucaq və bir kvadrat daxildir. Kompleks çoxbucaqlı tərəflər daha çoxdur. Bunlara da stellat rəqəmləri daxildir. Kompleks müntəzəm çoxbucaqlı tərəflər üçün tərəfləri bir dairəyə yazaraq tapılır. Biz bir sübut veririk. Kəskin tərəflərin sayı ilə müntəzəm poliqonu cəmləşdirin. Ətraf dairəsini təsvir edin. R radiusunu göstərin. İndi bəzi n-gon verildiyini təsəvvür edin. Onun açılarının nöqtələri bir dairədə yalan və bir-birinə bərabər olduqda, tərəflər aşağıdakı formula ilə tapıla bilər: a = 2R ∙ sinα: 2.

Yazılan sağ üçbucağın tərəflərinin sayını tapmaq

Tənəffüs üçbucağı müntəzəm poliqondur. Bunun üçün formulalar kvadrat və n-gon ilə eyni tətbiq olunur. Yan tərəf boyunca eyni uzunluğu varsa, üçbucağın doğru hesab ediləcəyi gözlənilir. Bu açılar 60 bərabərdir. Bir uzunluqlu bir üçbucaq tikirik a. Orta hündürlüyü və hündürlüyü bilmək, öz tərəflərinin əhəmiyyətini tapa bilər. Bunu etmək üçün, a = x: cosα formulası vasitəsilə tapmaq üsulunu istifadə edirik, burada x orta və ya yüksəklikdir. Üçbucağın bütün tərəfləri bərabər olduğundan, a = b = c əldə edirik. Sonra aşağıdakı iddialar tutulur: a = c = c = x: cosα. Eynilə, bir tərəfin üçbucağında dəyərini tapa bilərik, x isə müəyyən bir yüksəklikdə olacaq. Bu halda, bu rəqəmin əsasını dəqiq şəkildə proqnozlaşdırmaq lazımdır. Beləliklə, x hündürlüyünü bilməklə, a = b = x: cosa formulası ilə bir isosceles üçbucağının yanını tapırıq. Bir dəyərini tapdıqdan sonra, c əsasının uzunluğunu hesablaya bilərik. Biz Pythagoras teoremini tətbiq edirik. C cədvəlinin yarısının dəyərini axtaracağıq: 2 = √ (x: cosα) ^ 2 - (x ^ 2) = √x ^ 2 (1 - cos ^ 2α): cos ^ 2α = x ∙ tgα. Sonra c = 2xtgα. Bu sadə şəkildə hər hansı bir yazılmış çoxbucaqlı tərəfin sayını tapa bilərsiniz.

Bir dairədə yazılmış kvadratın tərəflərini hesablamaq

Hər hansı digər yazılmış müntəzəm poliqon kimi kvadrat bərabər tərəflərə və açılara malikdir. Eyni formullar üçbucağa aiddir. Kvadratın tərəflərini hesablayın ki, diaqonal dəyərindən keçə bilər. Bu metodu daha ətraflı nəzərdən keçirək. Məlumdur ki, diaqonal açıyı yarıya bölür. Əvvəlcə dəyəri 90 dərəcə idi. Beləliklə, bölünməsindən sonra iki düzbucaqlı üçbucaq formalaşır. Baza köşeleri 45 dərəcəyə bərabər olacaq. Buna görə kvadratın hər bir tərəfi bərabər olacaq, yəni e = c = c = q = e ∙ cosa = e√2: 2, e e kvadratın diaqonal və ya bölünməsindən sonra yaranan üçbucağın bazasıdır. Bu kvadratın tərəflərini tapmaq üçün yeganə yoldur. Bu rəqəmi bir dairədə yazacağıq. Bu dairənin R radiusunu bilmək, kvadratın tərəfini tapırıq. Biz bunu aşağıdakı kimi hesablayacağıq: a4 = R√2. Müntəzəm poliqonların radiusu R = a: 2tg (360 ^o: 2n) formulu ilə hesablanır, burada a yan uzunluqdur.

Bir n-gonun perimetrini necə hesablamaq olar?

N-gonun ətrafı bütün tərəflərin bir hissəsidir. Hesablamaq çətin deyil. Bunu etmək üçün bütün tərəflərin mənasını bilmək lazımdır. Xüsusi poliqon tipləri üçün xüsusi formulalar var. Onlar ətrafınızı daha sürətli tapmaq imkanı verir. Müntəzəm poliqonun bərabər tərəflərə malik olduğu məlumdur. Buna görə, onun ətrafını hesablamaq üçün onlardan birini bilmək kifayətdir. Formul rəqəmin tərəflərindən asılı olacaq. Ümumiyyətlə, belə görünür: P = an, burada a yan dəyər, n isə açıların sayıdır. Məsələn, 3 santimetrlik bir səkkizbucaqlı perimetri tapmaq üçün 8, yəni P = 3 ∙ 8 = 24 sm-ə qədər çarpın. 5 sm yan tərəfi olan altıbucaq üçün hesablayın: P = 5 ∙ 6 = 30 sm. Hər poliqondan.

Paraleloqramın, kvadratın və bir rombun perimetri tapmaq

Müntəzəm çoxbucaqlı neçə tərəfdən asılı olaraq, onun ətrafını hesablamaq. Bu, vəzifəni çox asanlaşdırır. Axı, digər rəqəmlərdən fərqli olaraq, bu vəziyyətdə yalnız bir tərəfi axtarmaq lazım deyil. Eyni prinsipə əsasən, dördbucaqların, yəni kvadratın və rombun ətrafını tapırıq. Bunlar fərqli rəqəmlər olmasına baxmayaraq, onlar üçün formul P = 4a, burada bir tərəfdir. Bir nümunə verək. Almazın və ya kvadratın tərəfi 6 smdirsə, onda biz aşağıdakı şəkildə perimetri tapırıq: P = 4 ∙ 6 = 24 sm Paraleloqramda yalnız qarşı tərəflər bərabərdir. Buna görə, onun ətrafı fərqli bir üsulla istifadə edilir. Beləliklə, rəqəmin uzunluğunu və genişliyini bilməliyik. Sonra formula P = (a + b) ∙ 2 tətbiq olunur. Bütün tərəflərin və açıların bərabər olduğu bir paraleloqram, bir romb deyilir.

Tənəffüs üçbucağın və sağ üçbucağın ətrafını tapmaq

Müntəzəm bərabər üçbucağın perimetri P = 3a formula ilə birləşir, burada a yan uzunluqdur. Məlum deyilsə, medianın vasitəsilə tapıla bilər. Düzbucaqlı üçbucaqda yalnız iki tərəf bərabər dəyərə malikdir. Baza Pifaqor teoremi vasitəsilə tapıla bilər. Bütün üç tərəfin dəyərləri məlum olduqdan sonra, perimetri hesablayın. A və b bərabər tərəflər və c əsasdır, burada formula P = a + b + c tətbiq etməklə əldə edilə bilər. Bir isosceles üçbucağında a = b = a, sonra a + b = 2a, sonra P = 2a + c olduğunu xatırlayın. Məsələn, isosceles üçbucağının tərəfi 4 smdir, onun əsasını və ətrafını tapırıq. Pipagor teoreminə görə hipotenozun dəyərini c = √a ² + ilə ² = √16 + 16 = √32 = 5.65 sm olaraq hesablayırıq. İndi perimetri P = 2 ∙ 4 + 5.65 = 13.65 sm hesablayın.

Müntəzəm poliqonun köşelerini necə tapmaq olar

Normal bir çoxbucaqlı gündəlik həyatımızda, məsələn, adi bir kvadrat, bir üçbucaq, bir sekizgen meydana gəlir. Bu rəqəmin özünüzü qurmaqdan daha asan heç bir şey görünmür. Amma yalnız ilk baxışdan budur. Hər hansı bir n-gonu qurmaq üçün onun açılarının dəyərini bilmək lazımdır. Amma necə tapmaq olar? Hətta qədim alimlər müntəzəm poliqonları qurmağa çalışdılar. Onlar bir dairə uyğun uyğun guessed. Sonra düz xətlərlə bağladılar, üzərinə lazımlı nöqtələri qeyd etdilər. Sadə rəqəmlər üçün tikinti problemi həll edildi. Formül və teoremlər əldə edildi. Misal üçün, Euclid məşhur işində "Başlanğıc" 3-, 4-, 5-, 6- və 15-gonlar üçün problemlərin həlli ilə məşğul olmuşdur. Ocaqları qurmaq və tapmaq yollarını tapdı. Bunu 15 gon üçün necə edəcəyini düşünün. Əvvəlcə onun daxili açılarının məbləğini hesablamalısınız. Formula S = 180⁰ (n-2) istifadə etmək lazımdır. Beləliklə, bizə 15 gon verilir, beləliklə n sayı 15dir. Bizə formula verilən məlumatları əvəz edəcəyik və S = 180⁰ (15 - 2) = 180⁰ x 13 = 2340⁰ olsun. 15 gonun bütün daxili açılarının cəmini tapdıq. İndi hər birinin dəyərini almaq lazımdır. Ümumi açılar 15. 2340⁰ hesablamasını aparın: 15 = 156⁰. Beləliklə, hər bir daxili açı 156 °-dir, indi hökmdar və pusula köməyi ilə doğru 15 gonu qura bilərsiniz. Amma daha mürəkkəb n-gonlar haqqında nə deməkdir? Əsrlərdir elm adamları bu problemi həll etmək üçün mübarizə aparmışlar. Yalnız 18-ci əsrdə Karl Fridrix Gauss tərəfindən tapılmışdır. 65537 gonu qura bildi. O vaxtdan bəri problem rəsmi olaraq tamamilə həll edildi.

Radianlarda n-gon açılarının hesablanması

Əlbəttə, poliqonların açılarını tapmaq üçün bir neçə yol vardır. Ən çox onlar dərəcə ilə hesablanır. Lakin onları radyanlarla ifadə edə bilərsiniz. Bunu necə edirsiniz? Aşağıdakı kimi davam etmək lazımdır. Birincisi, müntəzəm çoxbucaqlı tərəflərin sayını anlayırıq, sonra ondan çıxarın. 2. Beləliklə, biz dəyər alırıq: n - 2. N ("pi" = 3.14) ilə fərqi çoxaltın. İndi əldə edilən məhsulu n-gondakı açıların sayına bölmək olar. Bu hesablamaları eyni on beş köşeli üçbucağın nümunəsində nəzərdən keçirin. Beləliklə, n sayı 15'dir. S = n (n - 2) formülünü tətbiq edək: n = 3,14 (15 - 2): 15 = 3,14 ∙ 13: 15 = 2,72. Bu, əlbəttə ki, radyanların açığını hesablamaq üçün yeganə yol deyildir. Siz sadəcə dərəcənin ölçülərini 57.3 sayına görə bölə bilərsiniz. Axı, çox dərəcə bir radona bərabərdir.

Gradlarda açıların hesablanması

Dərəcələr və radyanlara əlavə, dolu bir poliqonun açılarını tapmaq üçün cəhd edə bilərsiniz. Bunu aşağıdakı kimi həyata keçiririk. Boşluqların ümumi sayından 2-dən çıxın, nəticələnən fərqi müntəzəm poliqonun yan tərəfinə bölün. Nəticədə 200-ə çarpılır. Bu arada, dolu kimi açıların ölçü vahidi praktik olaraq istifadə edilmir.

N-gonun xarici açılarının hesablanması

Hər hansı bir müntəzəm poliqon üçün, daxili birliyi ilə yanaşı, xarici açıları da hesablamaq mümkündür. Onun mənası, rəqəmlərin qalan hissəsi ilə eyni şəkildə tapılır. Beləliklə, müntəzəm poliqonun xarici küncünü tapmaq üçün daxili poliqonun mənasını bilmək lazımdır. Bundan əlavə, bilirik ki, bu iki açıların cəmi 180 dərəcədir. Buna görə də hesablamaları aşağıdakı kimi aparırıq: 180⁰ daxili açıdan dəyərsizdir. Fərqini tapırıq. Bu, bitişik olan bucaq dəyərinə bərabər olacaqdır. Məsələn, kvadratın daxili küncü 90 dərəcə, sonra isə xarici künc 180⁰-90⁰ = 90⁰ olacaqdır. Gördüyümüz kimi, onu tapmaq çətin deyil. Xarici bucaq 180 ° -dən müvafiq olaraq, -180 qədər bir dəyər ala bilər.