Bir funksiyaları və bir neçə dəyişənlərin Diferensial hesabı

Diferensial hesabı törəmə, fərqlər və funksiyaları öyrənilməsi onların istifadə araşdırır riyazi analiz, bir qoludur.

hekayə

Diferensial hesabı 17-ci əsrin ikinci yarısında müstəqil fənn kimi ortaya fərqlər hesablanması əsas müddəaları hazırlanır və inteqrasiya və fərqləndirmə arasında əlaqə qeyd Nyuton və Leybnits, iş sayəsində. intizam ildən bununla riyazi analiz əsasında təşkil inteqralların hesablanması ilə yanaşı, inkişaf etmişdir. Bu calculi görünüşü riyazi dünyada yeni müasir dövr açdı və elm yeni fənlər çıxması səbəb olub. Həmçinin Təbii elmlər və mühəndislik riyaziyyat tətbiq imkanı uzatdı.

əsas anlayışlar

Diferensial hesabı riyaziyyat fundamental anlayışlar əsaslanır. Onlar: bir real sayı, davamlılıq və funksiyası limit. bir müddət sonra, onlar ayrılmaz və diferensial hesabı sayəsində müasir bir görünüş etmişlər.

yaradılması prosesi

ərizə formasında, sonra elmi metodu diferensial hesabı formalaşması Nikolay Kuzansky tərəfindən yaradılmışdır fəlsəfi nəzəriyyəsi, çıxması əvvəl meydana gəldi. Onun iş qərarın qədim elm bir təkamül inkişaf sayılır. filosof özü riyaziyyatçı idi baxmayaraq, riyazi elmin inkişafına verdiyi töhfələrə danılmazdır. CUSA, ən dəqiq elm kimi hesab nəzərə alınmaqla ilk həyata biri, riyaziyyat sual zaman qoymuşdur.

yeni tədbir sonsuzluğa kimi təklif filosof dəqiq sayı qayıtmaq isə qədim riyaziyyatçılar da universal meyar, vahid idi. riyazi elm düzgün bu ters nümayəndəliyi ilə əlaqədar. Elmi bilik, onun fikrincə, səmərəli və ağıllı bölünür. keçmiş yalnız təxmini nəticələr verir bəri ikinci, alim görə, daha dəqiq deyil.

fikir

əsas ideya və müəyyən xal kiçik bir məhəllədə funksiyası ilə bağlı diferensial hesabı anlayışı. Bunun üçün davranış xətti funksiyası və ya bir çoxhədli davranış yaxın quraşdırılmış xal kiçik bir məhəllədə araşdırmalar fəaliyyət riyazi aparat yaratmaq lazımdır. törəmə və diferensial bu müəyyən əsaslanır.

yaranması törəmə anlayışı eyni tipli limit dəyərlərin müəyyən gətirib Təbii elmlər və riyaziyyat problemləri çox sayda səbəb oldu.

qədim məktəb dərsləri ilə başlayaraq, bir nümunə kimi verilir əsas vəzifələrindən biri, bir düz xətt və bu əyri toxunan xəttinin tikintisində bir nöqtəyə hərəkət sürəti müəyyən etməkdir. diferensial bir xətti funksiya baxımından kiçik bir məhəllədə funksiyası təxmini mümkün olduğundan, bu bağlı.

bir real dəyişən bir funksiyası törəmə anlayışı ilə müqayisədə fərqlər müəyyən sadəcə xüsusilə, ümumi xarakterli funksiyası başqa bir Evklid yer image keçir.

törəmə

y-ox istiqamətində point hərəkət edək dəfə biz bir an başdan ölçülür x almaq. belə bir hərəkət təsvir displaceable nöqtəsi koordinat hər zaman point x bağlı funksiyası y = f (x) ilə mümkündür. mexanika Bu funksiya zəng hərəkət qanununu etmək. xüsusilə qeyri-bərabər hərəkət, əsas xarakterik ani sürət. point mexanika qanuna görə y-ox boyunca köçürülüb zaman, təsadüfi vaxt nöqtəsi x f (x) koordinat əldə edir. Δh zaman artım təmsil dəfə point x + Δh, o f (x + Δh) kordinaty edəcək. Belə ki, meydana formula Δy = f (x + Δh) - bir artım funksiyası adlanır f (x). Bu x + Δh x zaman ərzində keçdiyi yolun bir nöqtəsidir.

vaxt törəməsi də sürət baş ilə əlaqədar idarə olunur. sabit nöqtədə hər hansı bir funksiyasının törəmə (mövcud fərz) həddi çağırıb. Müəyyən simvol istinad edilə bilər:

f (x), y, ý, df / dx, Dy / dx, Df (x).

zəng fərqləndirmə törəmə hesablanması prosesi.

bir neçə dəyişənlərin funksiyaları Diferensial hesabı

funksiyası iş bir neçə dəyişənlərin hesablanması Bu üsul tətbiq edilir. iki dəyişənlərin x və y, point A x ilə əlaqədar qismən törəmə olduqda sabit y x bu funksiyanın törəməsi deyilir.

aşağıdakı rəmzləri ilə göstərilə bilər:

f (x) (x, y), u (x), ∂u / ∂x və ∂f (x, y) / ∂x.

tələb olunan bacarıqlar

uğurla öyrənmək və inteqrasiya və fərqləndirmə ilə diffury tələb olunan bacarıqları həll etmək üçün. asan diferensial tənliklər anlamaq etmək üçün mövzu törəmə və başa düşmək lazımdır qeyri-müəyyən inteqral. Həmçinin gizli funksiyası törəmə axtarmaq öyrənmək üçün zərər vermir. Bu öyrənmə prosesində tez-tez inteqrallar və fərqləndirmə istifadə edəcək ki, bağlıdır.

diferensial tənliklər növləri

Faktiki olaraq ilə bağlı bütün nəzarət iş ilk sifariş diferensial tənliklər, homogen, ayrıla dəyişənlərin, xətti inhomogeneous: tənliklər 3 növ var.

ümumi fərqlər, Bernoulli nin tənlik və başqaları ilə daha nadir növ tənliklər var.

Fundamentals həlləri

xatırlayırıq ki, başlamaq üçün bir məktəb əlbəttə cəbri tənlik edir. Onlar dəyişənlər və nömrələri. müəyyən bir vəziyyət qane ədəd çox tapmaq lazımdır şərti tənlik həll etmək üçün. Tipik olaraq, bu tənliklər bir kök var və qiymətləndirmə yalnız naməlum yerə bu dəyər əvəz etməlidir.

diferensial tənlik bu kimi. Ümumiyyətlə, ilk sifariş bir tənlik ibarətdir:

• Independent dəyişən.
• ilk funksiyası A törəmə.
• Function və ya asılı dəyişən.

Bəzi hallarda, heç bir naməlum, x və ya y ola bilər, lakin bu, həll və diferensial hesabı üçün heç bir ali məqsədi törəmələri ilə ilk törəmə lazımdır doğru kimi kimi vacib deyil bilər.

diferensial tənlik həll - uyğun verilmiş ifadə olan bütün funksiyaları set tapmaq deməkdir. funksiyaları belə dəstləri tez-tez ümumi həll nəzarət adlanır.

inteqral hesabı

Integral calculus inteqral, xassələri və onun hesablanması üsulları anlayışı araşdırır riyazi analiz, bölmələr biridir.

bir əyrixətli forma sahəsi hesablanması zamanı tez-tez inteqral hesablama baş verir. Bu əlində tədricən artması və məlumat tərəfi ilə yazılmışdır poliqon formalı müəyyən sahə əvvəllər müəyyən özbaşına kiçik dəyərindən az edilə bilər doğru limit sahəsi deməkdir.

Hər hansı bir həndəsi formalı sahəsi hesablanması əsas ideyası bir düzbucaqlı sahəsi hesablanması, onda onun sahəsi eni uzunluğu məhsul bərabərdir dəlil yoxdur. Bu həndəsə gəldikdə, sonra bütün tikililər bir hökmdar və kompas istifadə edilir, və sonra eni uzunluğu nisbəti səmərəli dəyəri. sağ üçbucaq sahəsi hesablanması zaman növbəti üçbucaq qoymaq, bir düzbucaqlı təşkil edir ki, müəyyən edilə bilər. paraleloqram sahəsində bir düzbucaqlı və üçbucaq içərisində bir oxşar, lakin bir az daha mürəkkəb metodu hesablanır. bir poliqon sahəsində bu daxil üçbucaq hesab olunur.

ixtiyari mərhəmət müəyyən, bu üsul curve uyğun deyil. biz fərdi kvadratlar daxil qırmaq, bu, doldurulmamış yerlərdə qalacaq. Bu halda, o nəticəsində funksiyasının graph daxil daxil deyil, yuxarıda və aşağıda düzbucaqlı ilə iki qat istifadə edin. Burada əhəmiyyətli bu düzbucaqlı qırmaq üçün bir yoldur. biz daha çox aşağı fasilə varsa da, üst və alt sahəsi müəyyən dəyər səyləri.

Bu düzbucaqlı daxil ayrılması üçün bir üsul qayıtmalıdırlar. iki məşhur üsulları var.

Riemann altqrafdır sahəsi kimi, Leybnits və Newton yaratdığı tərkib müəyyən rəsmiləşdirilib. Bu halda, biz interval bölünməsi ilə əldə şaquli düzbucaqlı bir sıra ibarət bir rəqəm sayılır. azalma qırılma zaman belə bir rəqəm azalıb sahəsi bu limit müəyyən interval bir funksiya Riemann ayrılmaz adlanan bir limit var.

İkinci üsul ayrılması yerinə integrand bir hissəsi sahəsi təyin və sonra bu hissələr əldə dəyərlərin ayrılmaz məbləği tərtib fasilələrlə dəyərlərin onun üçündür bölünür, və sonra bu inteqrallar tərs images müvafiq tədbirlər yekunlaşdırdı ki ibarət lebesgue tərkib inşasıdır.

müasir salonları

diferensial və inteqral hesabı Fikhtengol'ts öyrənilməsi üçün əsas faydaları biri yazdı - "diferensial və inteqral hesabı edir." Onun dərslik digər dillərə çox nəşrləri və tərcümə qarşısında dura riyazi analiz öyrənilməsi üçün əsas vasitədir. tələbələr üçün və Tədqiqatın əsas faydaları biri kimi təhsil müəssisələrinin bir sıra istifadə uzun müddət üçün yaradılmışdır. Bu nəzəri informasiya və praktik bacarıqlar verir. First 1948-ci ildə nəşr.

Alqoritmi tədqiqat funksiyası

diferensial hesabı funksiyası üsulları araşdırmaq üçün, artıq alqoritm verilir riayət etmək lazımdır:

1. funksiyası domain tapın.
2. verilmiş tənliyin kökləri tapın.
3. ifrata hesablayın. Bunu etmək üçün, biz törəmə və bu sıfıra bərabərdir nöqtə hesablamaq.
4. Biz Cih əldə dəyər əvəz.

diferensial tənliklər növləri

birinci (bir dəyişən başqa, diferensial hesabı) və onların növləri nəzarət:

• f (y) dy = g (x) DX: ayrıla dəyişənlər tənlik ilə.
• formula olan bir dəyişən sadə tənlik və ya diferensial hesabı funksiyası: y = f (x).
• xətti ilk sifariş nonuniform nəzarət: y '+ P (x) y = Q (x).
• Bernoulli diferensial tənlik: y '+ P (x) y = Q (x) y a.
• ilə ümumi fərqlər tənlik: P (x, y) dx + Q (x, y) dy = 0.

İkinci tərtib və onların növləri diferensial tənliklər:

• daimi ^əmsallı homogen xətti ikinci tərtib diferensial ^{tənlik: n + y py '+ Qy} = 0 p, q R. məxsusdur
• daimi əmsallar ^dəyəri inhomogeneous xətti ikinci tərtib diferensial ^{tənlik: n + y py '+ Qy} = f (x).
• Homogen xətti diferensial ^{tənlik: n + p (x) y} y '+ q (x) y = 0 və inhomogeneous ikinci sifariş ^{tənlik: + n y p (x)} y' + q (x) y f = (x).

ali orden və onların növləri Diferensial tənliklər:

• ^sifariş azaldılması imkan diferensial ^{tənlik, F (x, y (k} ), y (k + ^{1), .., y (n)} = 0.
• ^{_{y (n) + f (ali}} məqsədi ^_homogen bir xətti tənlik n- ₁₎ y ^(n-1) + ... + ₁ y f '+ ₀ y = 0 və ^{_{inhomogeneous}} f ^{_{(n) y + f (}} n _-1) y ^(n-1) + ... + ₁ y f '+ ₀ y = f f (x).

diferensial tənlik ilə problemin həlli mərhələləri

uzaqdan idarə köməyi riyaziyyat və ya fiziki problemləri, həm də biologiya, iqtisadiyyat, sosiologiya və digər müxtəlif problemlərin yalnız həll olunur. mövzularda müxtəlif olmasına baxmayaraq, bu problemlərin həlli üçün bir məntiq ardıcıllıqla riayət etməlidir:

1. nəzarət tərtib. hər hansı bir səhv tamamilə yanlış nəticələrə gətirib çıxaracaq, çünki maksimum dəqiqlik tələb ən çətin mərhələlərindən biri. Nəzərə prosesi təsir edən bütün faktorları almaq və ilkin şərtlər müəyyən etmək lazımdır. O, həmçinin faktlar və məntiqi nəticələr əsasında olmalıdır.
2. tənliklərin həlli üçün. Bu riyazi hesablamalar yalnız ciddi həyata keçirilməsini tələb edir, çünki bu proses ilk nöqtəsinə asandır.
3. Təhlil və nəticələrin qiymətləndirilməsi. Derived həll nəticəsində praktik və nəzəri dəyəri quraşdırılması üçün qiymətləndirilməlidir.

diferensial istifadə nümunəsi tibb tənliklər

tibb sahəsində uzaqdan idarə istifadə epidemioloji riyazi model tikintisi var. Bu mühüm rol müxtəlif bioloji əhali və insan bədənində kimyəvi proseslərin öyrənilməsi oynayır, çünki bu tənliklər də tibb yaxın biologiya və kimya, aşkar ki, unutmaq lazım deyil.

Bu, məsələn, infeksiya epidemiya yayılması təcrid icma müalicə edilə bilər. sakinləri üç növə bölünür:

• Infected, yoluxucu hər hansı fiziki, yoluxucu daşıyıcılarının ibarət x sayı (t), (inkubasiya dövrü qısa).
• İkinci növ həssas şəxslər y (t), yoluxmuş ilə əlaqə ilə yoluxmuş ola bilər daxildir.
• üçüncü növü immun səhhətinə görə itirdi odadavamlı şəxslər z (t) daxildir.

şəxslərin sayı daim doğum saxlanılması, təbii ölüm və miqrasiya hesab olunmur. Əsas da iki fərziyyələr olacaq.

bir müddət nöqtədə Percent xəstəlik x (t) y (t) (xəstələr və məsuliyyətli üzvləri arasında ötürücü sayına mütənasib olaraq hallarının sayı birinci yaxınlaşmada x mütənasib olduğunu nəzəriyyəsi əsasında ehtimal (t) y (t)) ilə bərabər Buna görə də hallarının sayı (a> 0) artırılması və formula balta (t) y (t) ilə hesablanır bir dərəcəsi həssas azalır sayı edir.

ölən və ya immunitet əldə hallarda sayı bx (t) (b> 0) mütənasib dərəcəsi artan qeyri-müdaxilə heyvanların sayı.

Nəticədə, onun nəticələrinin əsasında bütün üç göstəriciləri ilə tənliklər sistemi bilərsiniz.

NÜMUNƏ istifadə iqtisadiyyat

Diferensial hesabı tez-tez iqtisadi təhlildə istifadə olunur. iqtisadi təhlildə əsas vəzifəsi funksiyası şəklində qeyd olunur iqtisadiyyatın dəyərləri öyrənilməsi hesab olunur. Bu nisbəti yeni avadanlıqla təqaüdçü əməkdaşları ilə əvəz edilə bilər nə dərhal sonra gəlir vergisi artır dəyişikliklər, giriş haqları, gəlirlərin dəyişikliklər məhsulun dəyəri dəyişən kimi problemlərin həllində istifadə olunur. belə problemləri həll etmək üçün, sonra diferensial hesabı ilə öyrənilir, daxil olan dəyişənlərin bir rabitə funksiyası tikintisi üçün tələb olunur.

belə maksimum məhsuldarlığı, yüksək gəlir, ən dəyəri və: iqtisadi sahədə ən optimal performansı tapmaq üçün tez-tez lazımdır. Hər bir belə komponent bir və ya daha dəlilləri bir funksiyası var. Məsələn, istehsal əmək və kapitalın bir funksiyası kimi hesab edilə bilər. Bununla əlaqədar olaraq, uyğun dəyər tapmaq bir və ya daha dəyişənlərin bir funksiyası maksimum və ya minimum tapmaq üçün azaldıla bilər.

Belə problemlər diferensial hesabı lazım olan iqtisadi sahədə ekstremal problemlərin sinif yaradır. iqtisadi göstərici azaltmaq və ya digər parametrləri bir funksiyası kimi artırmaq üçün tələb zaman mübahisə artım sıfıra çalışır əgər arqumentlər artım nisbəti maksimum point funksiyası sıfıra olur. Belə bir münasibət müəyyən müsbət və ya mənfi dəyər üçün çalışır zaman dəlil artırılması və ya azaldılması ilə istədiyiniz istiqamətdə asılı dəyər dəyişdirilə bilər, çünki Əks halda, müəyyən point, uyğun deyil. diferensial hesabı terminologiya, bu maksimum funksiya üçün tələb olunan şərtlər onun törəmə bir sıfır dəyəri deməkdir.

iqtisadi göstəricilər çox amillər təşkil olunur, çünki iqtisadiyyat neçə dəyişənlərin bir funksiyası extremum tapmaq qeyri-adi problem deyil. Belə məsələlər də bir neçə dəyişənlərin, diferensial hesablanması metodu funksiyaları nəzəriyyəsi başa düşülür. Bu cür problemlər təkcə məhdudiyyətlər maksimum və funksiyası minimuma, lakin daxildir. Bu suallar riyazi proqramlaşdırma aid və onlar xüsusi hazırlanmış metodları köməyi də bu elm sahəsinin əsaslanır ilə həll edilir.

iqtisadiyyatında istifadə diferensial hesabı üsulları arasında mühüm bölmə son test edir. İqtisadi sahədə, müddəti dəyişən performans tədqiqat üsulları bir sıra aiddir və onların limit dəyərlərin təhlili əsasında yaradılması, istehlak həcmi dəyişdirmək zaman nəticələnir. əlamət hesab törəmə və ya bir neçə dəyişənlərin ilə qismən törəmələri məhdudlaşdırılması.

bir neçə dəyişənlərin Diferensial hesabı - riyazi analiz mühüm mövzu. bir ətraflı öyrənilməsi üçün, ali təhsil müəssisələri üçün tədris vəsaitləri bir sıra istifadə edə bilərsiniz. Ən məşhur yaradılmış Fikhtengol'ts biri - "diferensial və inteqral hesabı edir." Necə adına çox əhəmiyyət diferensial tənliklər həlli üçün inteqrallar ilə işləmək bacarıqları var. bir dəyişən funksiyalarının bir diferensial hesabı olduqda, qərar daha asan olur. qeyd etmək lazımdır, baxmayaraq ki, bu eyni əsas qaydalarına əməl edir. Təcrübədə, diferensial hesabı funksiyası araşdırmaq, yalnız yeni dəyişənlərin tətbiqi ilə mövcud yüksək məktəb verilir alqoritm, və yalnız bir az mürəkkəb edin.