Xətti və ilk sifariş homogen diferensial tənlik. həllərin nümunələri

Düşünürəm ki, biz diferensial tənliklər kimi şərəfli riyazi alət tarixi ilə başlamaq lazımdır. bütün diferensial və inteqral hesabı kimi, bu tənliklər mərhum 17-ci əsrdə Newton tərəfindən icad edilmişdir. O, kimi tərcümə oluna bilər, bu gün belə şifrelenmiş mesaj, belə ki, vacibdir, onun kəşf idi iman ". Diferensial tənliklərlə təsvir təbiətin bütün qanunları" Bu mübaliğə görünə bilər, ancaq bu doğru deyil. fizika, kimya, biologiya hər hansı hüquq, bu tənliklər ilə təsvir edilə bilər.

diferensial tənliklər nəzəriyyəsinin inkişafı və yaradılması böyük töhfə Euler və Lagrange riyaziyyat var. Artıq 18-ci əsrdə onlar aşkar və indi baş universitet kurslarında təhsil alan nə inkişaf.

diferensial tənliklər öyrənilməsində yeni mərhələ Anri Puankare sayəsində başladı. məkan və onun xassələri elm - O topologiya təməli əhəmiyyətli dərəcədə təsir kompleks dəyişənli funksiyalar nəzəriyyəsi ilə birlikdə, bir "diferensial tənliklərin keyfiyyət nəzəriyyəsi" yaratmışdır.

diferensial tənliklər hansılardır?

Bir çox insanlar söz qorxuruq "diferensial tənlik". Lakin bu məqalədə biz ətraflı həqiqətən adı görünür kimi çətin deyil, bu çox faydalı riyazi alət mahiyyəti müəyyən edəcək. birinci sifariş diferensial tənlik haqqında danışmaq başlamaq üçün, ilk mahiyyət bu tərifi ilə bağlı əsas anlayışları ilə tanış olmalıdır. Və biz diferensial ilə başlamaq lazımdır.

diferensial

Bir çox insanlar yüksək məktəb bəri bu termini bilirik. Lakin, hələ detallı bu dayanmaq. funksiyasının graph düşünün. Biz seqmentinin hansı bir düz xətt olur, belə bir dərəcədə artıra bilər. Bu bir-birinə hədsiz yaxın olan iki xal almaq lazımdır. onların koordinatları (x və ya y) arasında fərq infinitesimal edir. Və diferensial adlanır və simvol Dy (y diferensial) və dx (x diferensial) təyin. Bu diferensial son dəyər deyil ki, anlamaq üçün vacibdir, və bu məna və əsas funksiyası var.

İndi biz diferensial tənlik anlayışını izah etmək lazımdır aşağıdakı elementləri hesab olunur. Bu - törəmə.

törəmə

Hamımız məktəb və bu anlayışı da eşitmişəm olmalıdır. artım və ya funksiyası azalması dərəcəsi - Onlar törəmə deyirlər. Lakin, bu müəyyən daha confusing olur. Bizə fərqlər törəmə baxımından izah edək. nin bir-birindən minimum məsafədə yerləşən iki xalla geri infinitesimal interval funksiyası gedək. Lakin hətta bu məsafə funksiyası kənarda bir dəyəri dəyişdirmək üçün vaxt var. Və dəyişiklik təsvir və başqa fərqlər nisbəti kimi yazılır ki, bir törəmə ilə gəlmək üçün (x) = df / DX f.

İndi törəmə əsas xüsusiyyətləri nəzərə almaq lazımdır. üç yalnız var:

1. Törəmə məbləği və ya fərq törəmələri cəminə və ya fərq kimi təmsil oluna bilər: (a + b) + b "və (ab) = a'-b '' Bir =.
2. İkinci əmlak vurma ilə bağlıdır. - Törəmə işlər başqa törəmə bir funksiyası işləri cəmidir: (a * b) * b + a * b '' Bir =.
3. fərq törəmə aşağıdakı tənlik kimi yazılı bilər: (a / b) = (a * ba * b) / b ^{2 pulsuz.}

Bütün bu funksiyalar ilk sifariş tənliklər diferensial həll tapmaq üçün lazımlı olur.

Həmçinin, qismən törəmələri var. biz dəyişənlərin x və y asılıdır z, bir funksiyası var düşünək. Bu funksiya qismən törəmə hesablamaq üçün, məsələn, x, biz sabit və fərq asan dəyişən y etmək lazımdır.

inteqral

Digər mühüm anlayışı - ayrılmaz. Əslində törəmə əksidir. Inteqrallar neçə növü var, lakin diferensial tənliklər sadə həllər, ən mənasız lazımdır qeyri-müəyyən inteqrallar.

Belə ki, tərkib nədir? biz x f bir əlaqəsi var deyirlər. Biz ondan ayrılmaz və orijinal funksiyası törəmə bir funksiyası F (x) (tez-tez bir ibtidai adlanır) almaq. Buna görə də F (x) = f (x). Bu da törəmə tərkib orijinal funksiyası bərabərdir ki, nəzərdə tutur.

diferensial tənliklər həlli bu çox tez-tez həll tapmaq üçün onları almaq çünki, inteqral məna və funksiyasını başa düşmək üçün çox vacibdir.

tənliklər onların xarakterindən asılı olaraq fərqlidir. Növbəti bölmədə biz birinci diferensial tənliklər növləri baxmaq və sonra onları həll etmək üçün necə öyrənmək olacaq.

diferensial tənliklər Dərslər

"Diffury" Onların cəlb törəmələri əmri ilə bölünür. Beləliklə birinci, ikinci, üçüncü və ya daha sifariş var. adi və qismən Onlar həmçinin bir neçə siniflərə bölünür bilər.

Bu yazıda, biz ilk sifariş adi diferensial tənliklər baxacaq. Nümunələr və həllər aşağıdakı bölmələrdə müzakirə. Bu tənliklər ən ümumi növləri, çünki biz yalnız TAC hesab edir. Adi yarımnövü bölünür: homogen və heterogen ayrıla dəyişənlərin ilə. Next onlar bir-birindən fərqlənir necə öyrənmək və onlara həll etmək üçün necə öyrənmək olacaq.

biz ilk sifariş diferensial tənliklər sistemi almaq sonra, belə ki, əlavə, bu tənliklər, birləşdirilə bilər. Belə sistemləri, biz də baxmaq və həll etmək üçün necə öyrənmək.

Niyə biz yalnız ilk sifariş nəzərdən? Bu bir məqalədə, bir sadə ilə başlamaq və diferensial tənliklər ilə bağlı bütün təsvir etmək lazımdır, çünki bu, mümkün deyil.

ayrıla dəyişənlərin ilə tənliklər

Bu, bəlkə də ən sadə birinci diferensial tənliklər edir. y = f (x) * f (y): Bu kimi yazıla bilər nümunələridir. y '= Dy / dx: bu tənliyi həll etmək üçün biz fərqlər nisbəti kimi törəmə təmsil formula lazımdır. Dy / dx = f (x) * f (y): O biz tənlik almaq. İndi biz standart nümunələri həll üsulu müraciət edə bilərsiniz: ayrı-ayrı dəyişənlərin yerlərində, yəni sürətli irəli bütün dəyişən y dy var hissəsində, həmçinin dəyişən x etmək ... dy / f (y) = f (x) dx, iki hissədən inteqrallar alaraq əldə edilir: Biz formada bir tənlik almaq. Siz inteqrasiya sonra qoymaq istəyirəm ki, daimi haqqında unutmayın.

hər hansı bir "diffura" həlli - (bizim halda) y tərəfindən x funksiyası, və ya bir ədədi vəziyyət varsa, cavab bir sıra edir. Bizə konkret nümunə qərar bütün kurs nəzərdən keçirək:

y '= 2y * sin (x)

müxtəlif istiqamətlərdə dəyişənlərin Transfer:

dy / y = 2 * sin (x) dx

İndi inteqrallar almaq. Onların hamısı inteqrallar xüsusi cədvəldə bilər. Və biz almaq:

ln (y) = -2 * cos (x) + C

Tələb olunarsa, biz "X" bir funksiyası kimi "y" ifadə edə bilərlər. İndi biz vəziyyəti müəyyən deyil əgər diferensial tənlik həll ki, demək olar. Məsələn, y (n / 2) = e üçün şərait müəyyən edilə bilər. Sonra sadəcə qərarı bu dəyişənlərin dəyəri əvəz və daimi dəyəri tapa bilərsiniz. Bizim Məsələn, bu 1-dir.

Homogen birinci diferensial tənliklər

İndi daha mürəkkəb hissələri üçün. y = z (x, y): homogen birinci diferensial tənliklər kimi ümumi formada yazıla bilər. Bu iki dəyişənlərin sağ funksiyası vahid ki, qeyd etmək lazımdır ki, bu asılı olaraq ikiyə bölünə bilməz: z x və y z. tənlik homogen və ya olub-olmadığını yoxlayın, olduqca sadədir: biz əvəzetmə x = k * x və y = k * y etmək. İndi biz bütün k kəsdi. bu məktublar düşdü, onda tənlik homogen və təhlükəsiz onun həllinə davam edə bilərsiniz. irəli Axtarıram, biz deyirik: Bu misallar həlli prinsipi də çox sadədir.

, Y = t (x) * x burada t - də x asılıdır funksiyası: Biz əvəz etmək lazımdır. y '= t (x) * x + t: Sonra törəmə ifadə edə bilərlər. orijinal tənlik daxil bütün bu əvəz və sadələşdirilməsi, biz x kimi dəyişənlər t ayrılması nümunə var. həll və t (x) asılılığını almaq. biz bunu var zaman, sadəcə əvvəlki əvəz y = t (x) * x əvəz. Sonra x y asılılığını almaq.

Bu aydın etmək üçün, biz nümunə anlamaq edilir: x * y '= YX * e y / x.

bütün azalan əvəz yoxlanılması zaman. Belə ki, tənlik həqiqətən homogen deyil. İndi bir əvəz etmək, biz danışdıq: y = t (x) * x və y '= t (x) * x + t (x). sadələşdirilməsi sonra aşağıdakı tənlik: t (x) * x = e t. Biz ayrılmış dəyişənlərin ilə nümunə almaq üçün qərar və biz ^{almaq: e -t = ln (C *} x). Biz sadəcə t əvəz etmək lazımdır y / x (y t * x =, onda t = çünki y / x), və biz ^{cavab almaq: e y / x = ln (} x * C).

ilk sifariş xətti diferensial tənliklər

Başqa geniş mövzu hesab üçün vaxt var. Biz heterogen ilk sifariş diferensial tənliklər görünür. Necə əvvəlki iki fərqlənir? Gəlin bu üzləşirlər. tənlik ümumi formada Linear birinci diferensial tənliklər belə yazıla bilər: y '+ g (x) * y = z (x). Bu z (x) və g (x) sabit dəyərlər ola bilər ki, aydınlıq olmalıdır.

- y * x = y 'Burada bir misal var x ^2.

Orada həll etmək üçün iki yol var, və biz onların hər ikisi nəzərdən keçirək sifariş. ilk - ixtiyari sabitləri variasiya üsulu.

Bu şəkildə tənliyi həll etmək üçün sıfır ilk sağ tərəfi eyniləşdirmək və hissələrinin transfer olur sonra yaranan tənlik həll etmək lazımdır:

y = y * x;

Dy / dx = y * x;

dy / y xdx =;

ln | y | = x ^2/2 + C;

y = e ^{x2 / 2} * ^C y = C ₁ * e ^{x2 / 2.}

İndi biz tapa funksiyası v (x), daimi C ₁ əvəz etmək lazımdır.

y = v * e ^{x2 / 2.}

bir əvəz törəmə Draw:

^{y '= v * e x2} / ² x * v * e ^{x2 / 2.}

Və orijinal tənlik bu ifadələri əvəz:

v * e ^{x2 / 2} - x * v * e ^{x2 / 2} + x * v * e ^{x2 / 2} = x ^2.

Siz iki baxımından sol tərəfində azaldılır olduğunu görə bilərsiniz. bir misal baş vermədi ki, onda siz yanlış bir şey görmüşük. Biz davam edir:

v * e ^{x2 / 2} = x ^2.

İndi siz dəyişənlərin ayırmaq istədiyiniz adi tənlik həll:

dv / dx = x ^{2 /} e ^x2 / ^2;

dv = x ² * e ^{- x2 / 2} dx.

inteqral aradan qaldırılması üçün, biz burada hissələri ilə inteqrasiya tətbiq etmək lazımdır. Lakin, bu maddənin mövzusu deyil. Əgər istəyirsinizsə, siz belə tədbirlər həyata keçirmək üçün öz öyrənə bilərsiniz. Bu çətin deyil, və kifayət qədər bacarıq və qayğı ilə vaxt deyil.

Bernoulli metodu: ikinci metodu inhomogeneous tənliklər həll toxunan. Nə yanaşma daha sürətli və asan - bu qədər var.

y = k * n: Bu metodu həll zaman, biz əvəz etmək lazımdır. Burada k və n - bəzi funksiyaları x asılı olaraq. '' = K * n + k * n y Sonra törəmə kimi görünür. tənlik Ehtiyat iki Əvəzedicilərimiz:

k * n + k * n '+ x * k * n = x ^2.

Group up:

k * n + k * ( n '+ x * n) = x ^2.

İndi ki, parantez olan, sıfır eyniləşdirmək lazımdır. Iki nəticəsində tənliklər birləşdirmək əgər İndi, biz birinci diferensial tənliklər sistemi həll ediləcək almaq:

n '+ x * n = 0;

K * n = x ^2.

ilk bərabərlik necə adi tənlik qərar. Bunu etmək üçün, siz dəyişənlərin ayırmaq lazımdır:

dn / dx = x * v;

dn / n = xdx.

Biz inteqral və biz almaq: ln (n) = x ^2/2. Sonra, biz n ifadə əgər:

n = e ^{x2 / 2.}

İndi ikinci tənlik nəticəsində tənlik əvəz:

K * e ^{x2 / 2} = x ^2.

Və biz ilk metodu kimi eyni tənlik almaq dəyişdirir:

dk = x ^{2 /} e ^x2 / ^2.

Biz həmçinin fəaliyyət müzakirə edəcək. Bu ilk sifariş diferensial tənliklərin həlli xeyli çətinliklər yaradır bildirilir. Lakin mövzu dərin immersion daha yaxşı və daha yaxşı almaq üçün başlayır.

Harada diferensial tənliklər var?

Çox fəal diferensial kimi demək olar ki, bütün əsas qanunlar diferensial şəklində yazılmış fizika istifadə tənliklər, və biz görmək o düsturlar, - bu tənliklər həll. kimya, onlar eyni səbəbdən istifadə olunur: əsas qanunlar onların vasitəsilə əldə edilir. yırtıcı - biologiya, diferensial tənliklər belə yırtıcı kimi sistemləri, davranış modelinə üçün istifadə olunur. Onlar həmçinin, mikroorqanizmlərin məsələn, koloniyaları bərpası modelləri yaratmaq üçün istifadə edilə bilər.

diferensial tənliklər həyatda kömək kimi?

Bu sualın cavabı çox sadədir: heç bir şey. Bir alim və ya mühəndis deyilsə, onlar faydalı olacaq ki, mümkün deyil. Lakin, nə diferensial tənlik bilmək zərər və ümumi inkişaf üçün həll deyil. Və sonra bir oğlu və ya qızı, sual "nə bir diferensial tənlik?" bir ölü sonunda sizi qoymaq deyil. Bir alim və ya mühəndis əgər Bəli, sonra hər hansı bir elm bu mövzunun əhəmiyyətini bilirik. Amma ən əsası, indi sualına ki, "necə ilk sifariş diferensial tənlik həll etmək üçün?" Siz həmişə cavab vermək mümkün olacaq. Nə insanlar tapmaq üçün hətta qorxurlar ki, həyata zaman razıyam, o, həmişə gözəl edir.

işdə əsas problemlər

Bu mövzu anlayışı əsas problem inteqrasiya və fərqləndirmə funksiyaları pis vərdiş edir. Siz narahat törəmələri və inteqrallar daşımır, bu, inteqrasiya və fərqləndirmə müxtəlif üsulları öyrənmək, öyrənmək üçün daha yəqin ki, dəyər, yalnız və yalnız sonra məqalədə təsvir edilmişdir maddi öyrənilməsi davam etdirilir.

Bəzi insanlar kimi əvvəllər (məktəb) ki, dx köçürülə bilər öyrənmək üçün sürpriz var fraksiyası Dy / dx bölünməz olduğunu müdafiə etdi. Sonra törəməsi üzrə ədəbiyyat oxumaq lazımdır və tənliklər həll manipulyasiya edilə bilər sonsuz kiçik miqdarda, münasibəti olduğunu başa düşürük.

Bu tez-tez bir funksiyası və ya neberuschiysya tərkib və bu delusion onlara problem bir çox verir - Bir çox insanlar dərhal ilk sifariş diferensial tənliklər həll ki, dərk etmirlər.

Nə daha yaxşı anlamaq üçün tədqiq edilə bilər?

Bu qeyri-riyazi ixtisas tələbələri üçün riyazi analiz, məsələn, xüsusi dərsliklərin diferensial hesabı dünyaya daha immersion başlamaq üçün ən yaxşı. Siz daha çox ixtisaslaşdırılmış ədəbiyyat hərəkət edə bilər.

Bu diferensial ilə yanaşı, hələ inteqral tənliklər var ki, deyilir, belə ki, həmişə çalışırıq bir şey və nə öyrənmək olacaq.

nəticə

Biz bu yazıyı sonra diferensial tənliklər düzgün həll etmək və nə bir fikir var ki, ümid edirik.

Hər halda, həyat bizə faydalı heç bir şəkildə riyaziyyat. Bu olmadan hər kəs, əlində olmadan məntiq və diqqət inkişaf edir.