Fərqli nədir? Bir funksiyanın fərqliliyini necə tapmaq olar?

Törəmələrlə yanaşı Onların funksiyaları Fərqliliklər var Diferensial hesabın əsas anlayışlarından biri, riyazi analizin əsas hissəsidir . Əlbəttə ki, bir neçə əsrdir ki, insanların elmi və texniki fəaliyyətində baş verən bütün problemləri həll etmək üçün fəal şəkildə istifadə olunurlar.

Fərqlilik anlayışının mənşəyi

İlk dəfə, diferensial hesablamanın, məşhur alman riyaziyyatçısı Gottfried Wilhelm Leibniz'in yaradıcılarından biri olan Isaac Newtonun fərqli olduğunu izah etdi. Bu riyaziyyatçıdan əvvəl 17 sənət. Çox qeyri-müəyyən və qeyri-müəyyən bir fikir, çox kiçik sabit dəyəri təmsil edən, lakin funksiyaya aid olmayan dəyərlərdən daha az olan sıfıra bərabər olmayan hər hansı bir tanınmış funksiyanın bəzi sonsuz kiçik "bölünməz" hissəsi haqqında istifadə edilmişdir. Beləliklə, funksiyaların arqumentləri və sonuncu törəmələri baxımından ifadə olunan funksiyaların müvafiq artımları ilə infinitesimal artım anlayışının tətbiqi əvvəl yalnız bir addım idi. Və bu addım yuxarıda qeyd olunan iki böyük alim tərəfindən demək olar ki, eyni vaxtda aparılmışdır.

Tezliklə inkişaf edən sənaye və texnologiyanı elmə yönəldən mexanikanın aktual praktiki problemlərini həll etmək lazımdır, Newton və Leibniz funksiyaları dəyişiklik dərəcəsini (ilk növbədə bədənin bilinən bir traektoriya boyunca mexaniki sürətinə görə) tapmaq üçün ümumi metodlar yaratdı ki, belə anlayışların, Bir funksiyanın törəməsi və diferensialı olduğu və eyni zamanda, bilinən (dəyişən) sürətdə olduğu kimi, tərs problemin həlli üçün alqoritmi tapdıqda, inteqrasiya konsepsiyasının görünüşünə Ala.

Leibniz və Newtonun yazılarına görə, ilk növbədə diferensiallar Δx, ardıcıllığın dəyərlərini hesablamaq üçün uğurla tətbiq edilə bilən funksiyaların Δy funksiyalarının əsas hissələrini Δx olan artımlara mütənasibdir. Digər bir deyişlə, bir funksiyanın artımının hər hansı bir nöqtədə (tərifinin sahəsi daxilində) onun törəməsi ilə Δy = y '(x) Δx + αΔx kimi ifadə edilə biləcəyini aşkar etdilər, burada αΔx qalan Δx → 0, Δx özündən daha sürətlidır.

Mətanalizin təsisçilərinə görə, diferensiallar hər hansı funksiyaların artımları üçün ifadələrdə ilk növbələrdir. Ardıcıllıqların həddi dəqiq müəyyən bir konsepsiyaya malik olmadıqları üçün, intuitiv olaraq fərqlənmə dəyərinin funksiyanın törəməsini Δx → 0 - Δy / Δx → y (x) kimi qiymətləndirdiyini başa düşdilər.

Birincisi fizikçi olan Newtondan fərqli olaraq, fiziki problemlərin öyrənilməsi üçün köməkçi bir vasitə kimi riyazi aparatı hesab etdiyinə görə, Leibniz bu alətin özünə, xüsusilə riyazi miqdarda intuitiv və anlaşılır təyinat sisteminə diqqət yetirdi. Dy = y '(x) dx funksiyasının diferensialları, dx dəlil və funksiyasının törəməsi, y (x) = dy / dx nisbəti şəklində ümumiyyətlə qəbul edilən nota təklif etmişdi.

Müasir təsvir

Müasir riyaziyyat baxımından fərqlilik nədir? Bu dəyişən artım anlayışı ilə sıx bağlıdır. Əgər dəyişən y y = y ₁ əvəzini alırsa, y = y ₂ , y2 ─ y ₁ fərqi y y artımı adlanır. Artım müsbət ola bilər. Mənfi və sıfır bərabərdir. "Artım" sözü Δ ilə ifadə edilir, qeyd Δy (oxu "delta yerk") y artımını nəzərdə tutur. Belə ki, Δy = y ₂ ─ y ₁ .

Y = f (x) xarakterik funksiyasının Δy değeri Δy = A Δx + α kimi göstərilə bilər, burada A Δx-yə bağlı deyildir, yəni A = bir const üçün, və Δx → 0 kimi term Bu, Δx özündən daha sürətli, daha sonra Δx ilə mütənasib olan ilk ("əsas") müddəti və y = f (x) üçün Dy və ya df (x) ("de oyun", "de eff from x" deyilir). Buna görə diferensiallar Δx ilə əlaqəli xətti olan funksiyaların artımlarının "əsas" komponentləridir.

Mexanika təfsiri

S = f (t) başlanğıc mövqedən (t yolda sərf olunan vaxt) bir düzbucaqlı hərəkət edən maddi nöqtənin məsafəsi olsun. Artım Δs, zaman aralığının Δt-nin nöqtəsindəki nöqtəsidir və diferensial ds = f '(t) Δt, nöqtənin eyni zamanda Δt-dən keçəcəyi yoldur ki, bu zaman f' (t) . Bir infinitesimal Δt üçün, xəyali yol ds Δt ilə müqayisədə daha yüksək bir səthə malik olan infinitesimal məbləğlə əsl Δs-dan fərqlənir. T zamanında sürət sıfır deyilsə, ds nöqtənin kiçik yer dəyişdirməsinin təxminən bir dəyəri verir.

Geometrik şərh

L xəttinin y = f (x) göstəricisi olsun. Sonra Δx = MQ, Δy = QM '(aşağıdakı rəqəmə bax). Tangent MN seqmentini iki hissəyə bölür, QN və NM '. Birincisi, Δx ilə mütənasibdir və QN = MQ ∙ tg (qətilik QMN) = Δx f '(x) ilə bərabərdir, yəni QN diferensialdir.

NM-nin ikinci hissəsi Δx → 0 üçün fərqlə verilir, NM uzunluğu arqument artımına görə daha da sürətlə azalır, yəni kiçiklik əmri Δx-dən daha yüksəkdir. Nəzərə alınmaqla f '(x) ≠ 0 (tangent OX paralel deyil) üçün QM və QN seqmentləri bərabərdir; Başqa sözlə, NM 'nin ümumi artımından daha sürətli azalır (kiçiklik əmri daha yüksəkdir) Δy = QM'. Bu rəqəm (M'kM yanaşması ilə, NM seqmentinin QM seqmentinin kiçik hissəsi) şəklində görünür.

Beləliklə, qrafik olaraq, özbaşına bir funksiyanın fərqliliyi onun teğetinin ordinatının artımının böyüklüyünə bərabərdir.

Törəmə və fərqlilik

Bir funksiyanın artımı üçün ifadənin birinci dövründə əmsal A törəmə f '(x) bərabərdir. Beləliklə, aşağıdakı əlaqə saxlanılır: dy = f '(x) Δx, və ya df (x) = f' (x) Δx.

Məlumdur ki, müstəqil arqumentin artımı onun diferensialına Δx = dx bərabərdir. Buna görə yaza bilərik: f '(x) dx = dy.

Diferensiyaların tapılması (bəzən "həll" deməkdir) törəmələri ilə eyni qaydalarla yerinə yetirilir. Bunların siyahısı aşağıda verilmişdir.

Daha universal nədir: arqumentin artması və ya onun fərqi

Burada bəzi şərhlər etmək lazımdır. Fərqli f '(x) Δx bir təmsilçiliyi x arqument kimi qəbul edildikdə mümkündür. Amma funksiya mürəkkəb ola bilər, x isə bəzi xəttlərin t funksiyası ola bilər. Bundan sonra diferensialın f'(x) Δx ifadəsi ilə göstərilməsi qeyri-mümkündür; X = at + b xətti asılılıq vəziyyətindən başqa.

F x (x) dx = dy formuluna gəldikdə, sonra müstəqil arqument x (daha sonra dx = Δx) halda və x-nin t parametrik asılılığı vəziyyətində, bu fərqlilikdir.

Məsələn, 2 x Δx ifadə x = x ² üçün x fərziyyə edir, x isə bir arqumentdir. İndi x = t ^2- ni təyin edirik və bir arqument hesab edirik. Sonra y = x2 = t ⁴ .

Bundan sonra (t + Δt) ² = t ² + 2tΔt + Δt ² əmələ gəlir. Beləliklə Δx = 2tΔt + Δt ² . Beləliklə: 2xΔx = 2t ² (2tΔt + Δt ² ).

Bu ifadə Δt ilə mütənasib deyil və buna görə də 2xΔx fərqlilik deyil. Y = x ² = t ⁴ tənlikindən tapıla bilər. Dy = 4t ³ Δt olmaq olur.

Əgər 2xdx ifadəsini götürsək, o, hər hansı bir arqument t üçün diferensial y = x2 təşkil edir. Həqiqətən, x = t ² üçün dx = 2tΔt əldə edirik.

Beləliklə, 2xdx = 2t ² 2tΔt = 4t ³ Δt, yəni iki fərqli dəyişənlər vasitəsilə yazılan diferensiallar üçün ifadələr üst-üstə düşür.

Farklılıklarla artımların dəyişdirilməsi

Əgər f '(x) ≠ 0, Δy və dy bərabərdir (Δx → 0); F '(x) = 0 (dy = 0 deməkdir) üçün onlar ekvivalent deyil.

Məsələn, əgər y = x2, onda Δu = (x + Δx) ² ─ x ² = 2xΔx + Δx ² və dy = 2xΔx. Əgər x = 3 varsa, Δx ² → 0-ə bərabər olan Δy = 6Δx + Δx2 və dy = 6Δx var, x = 0-da Δy = Δx ² və dy = 0 bərabər deyil.

Bu fakt, diferensialın sadə strukturu ilə (yəni, Δx ilə əlaqəli doğrusal), tez-tez təxmin edilən hesablamalarda, kiçik Δx üçün Δy ≈ dy olduğu ehtimalı ilə istifadə olunur. Bir funksiyanın fərqliliyini tapmaq ümumiyyətlə artımın dəqiq dəyərini hesablamaqdan daha asandır.

Məsələn, bir x kənarı x 10,00 sm olan bir metal kubumuz var, qızdırıldığında, kənar Δx = 0.001 sm ilə uzanır Kubun həcmi V nə qədər artır? V = x2, belə ki dV = 3x ² Δх = 3 ∙ 10 ² ∙ 0/01 = 3 (sm3). ΔV həcmində artım diferensial dV-ə bərabərdir, beləliklə ΔV = 3 sm3. Tam hesablama ΔV = 10.01 ³ ─ 10 ³ = 3.003001 verərdi. Amma bu nəticədə birinci rəqəmdən başqa bütün rəqəmlər etibarsızdır; Hər halda, onu 3 sm ^3- ə qədər dəyişdirin.

Aydındır ki, belə bir yanaşma yalnız tətbiq olunan səhvin böyüklüyünü qiymətləndirmək mümkün olduqda faydalıdır.

Fəaliyyətin diferensialı: nümunələr

Törəmə tapılmadan y = x ³ funksiyasının fərqini tapmağa çalışaq. Artıq bir artım verək və Δy təyin edək.

Δu = (Δх + x) ³ ─ x ³ = 3x ² Δx + (3xΔх2 + Δх ³ ).

Burada A = 3x2 katsayısı Δx-dən asılı deyildir, beləliklə ilk dövr Δx ilə mütənasibdir, digər müddət isə 3xΔx ² + Δx ³ Δx → 0 olduğunda, arqumentin artımından daha sürətli azalır. Buna görə, 3x ² Δx termini diferensial y = x ^{3 olur:}

Dy = 3x2 Δx = 3x2 dx və ya d (x3) = 3x2 dx.

Bu halda d (x ³ ) / dx = 3x2.

İndi y = 1 / x funksiyasını onun törəməsi baxımından tapırıq. Sonra d (1 / x) / dx = ─1 / x ² . Buna görə, dy = ─ Δx / x ² .

Əsas cəbri funksiyalarının diferensialları aşağıda verilmişdir.

Farklılığı istifadə edərək təxmin edilən hesablamalar

X = a funksiyasının f (x) funksiyasının, eləcə də onun tivi f '(x) funksiyasının hesablanması çox vaxt çətin deyil, baxmayaraq ki x = a nöqtəsində eyni şeyi etmək asan deyil. Sonra xilasetmə üçün təxminən bir ifadə gəlir

F (a + Δx) ≈ f '(a) Δx + f (a).

Bu, diferensial f '(a) Δx sayəsində kiçik Δx artımları funksiyasının təxminən bir dəyərini verir.

Nəticə olaraq, bu formula uzunluğu Δx bir hissəsinin son nöqtəsində funksiya üçün bu hissənin başlanğıc nöqtəsində (x = a) və eyni başlanğıc nöqtəsində diferensialın ümumi məbləği kimi təxminən bir ifadə verir. Funksiyanın dəyərini təyin etməklə bu şəkildə səhv aşağıda göstərilmişdir.

Bununla belə, x = a + Δx funksiyasının dəyəri üçün dəqiq ifadə, sonlu artım formulları ilə verilir (və ya başqa sözlə, Lagrange formula ilə)

F (a + Δx) ≈ f '(ξ) Δx + f (a),

X = a + ξ nöqtəsi x = a-dan x = a + Δx-yə qədər olan hissədədir, baxmayaraq ki, dəqiq mövqeyi məlum deyil. Həqiqi formula təxminən formulun səhvini qiymətləndirməyə imkan verir. Lakin, Lagrange formulunda ξ = Δx / 2 təyin edildikdə, tam olaraq dəqiqləşməsinə baxmayaraq, fərqlilik baxımından orijinal ifadədən daha yaxşı bir yaxınlaşma təmin edir.

Diferensiyadan istifadə edərək formulaların səhvlərinin qiymətləndirilməsi

Ölçü alətləri prinsipcə düzgün deyil və səhvləri ölçmə məlumatlarına tətbiq edir. Onlar tamamilə mütləq səhv, ya da daha qısa olaraq, marginal səhv - müsbət sayı ilə xarakterizə olunur ki, bu da bu səhvin mütləq dəyərdə (ya da ən çox bərabər olan) çoxdur. Məhdudlaşdırıcı nisbi səhv onun ölçülmüş dəyərinin mütləq dəyəri ilə bölgüsünün hissəsidir.

Y = f (x) tam funksiyasını y funksiyasını y hesablamaq üçün istifadə edək, x isə ölçünün nəticəsidir və y-də bir səhv ortaya qoyur. Sonra y funksiyasının məhdudlaşdıran mütləq səhvini tapmaq üçün formula istifadə edin

Δ ,

Burada dxx dəlilin məhdudlaşdırılması səhvidir. Çünki, ³yyyətinin dəyəri yuxarıya doğru yuvarlaqlaşdırılmalıdır Dəyişmənin hesablanması ilə artımın hesablanması əvəzolunmazdır.